关于性能：用Java测试原始性最快的方法是什么？

What would be the fastest method to test for primality in Java?

我正在尝试找到最快的方法来检查给定数字是否为质数(在Java中)。以下是我想到的几种素数测试方法。有没有比第二个实现(isPrime2)更好的方法？

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public class Prime {

public static boolean isPrime1(int n) {
if (n <= 1) {
return false;
}
if (n == 2) {
return true;
}
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n) + 1; i++) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
public static boolean isPrime2(int n) {
if (n <= 1) {
return false;
}
if (n == 2) {
return true;
}
if (n % 2 == 0) {
return false;
}
for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n) + 1; i = i + 2) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
}

public class PrimeTest {

public PrimeTest() {
}

@Test
public void testIsPrime() throws IllegalArgumentException, IllegalAccessException, InvocationTargetException {

Prime prime = new Prime();
TreeMap<Long, String> methodMap = new TreeMap<Long, String>();

for (Method method : Prime.class.getDeclaredMethods()) {

long startTime = System.currentTimeMillis();

int primeCount = 0;
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
if ((Boolean) method.invoke(prime, i)) {
primeCount++;
}
}

long endTime = System.currentTimeMillis();

Assert.assertEquals(method.getName() +" failed", 78498, primeCount);
methodMap.put(endTime - startTime, method.getName());
}

for (Entry<Long, String> entry : methodMap.entrySet()) {
System.out.println(entry.getValue() +"" + entry.getKey() +" Milli seconds");
}
}
}

相关讨论

这是另一种方式：

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boolean isPrime(long n) {
if(n < 2) return false;
if(n == 2 || n == 3) return true;
if(n%2 == 0 || n%3 == 0) return false;
long sqrtN = (long)Math.sqrt(n)+1;
for(long i = 6L; i <= sqrtN; i += 6) {
if(n%(i-1) == 0 || n%(i+1) == 0) return false;
}
return true;
}

BigInteger's isProbablePrime(...)对所有32位int有效。

编辑

请注意，isProbablePrime(certainty)并不总是能产生正确的答案。当确定性偏低时，它将产生误报，如评论中提到的@ dimo414。

不幸的是，我找不到声称isProbablePrime(certainty)对所有(32位)int都有效的源(足够确定！)。

因此，我进行了一些测试。我创建了一个大小为Integer.MAX_VALUE/2的BitSet来表示所有不均匀数，并使用质数筛子查找了1..Integer.MAX_VALUE范围内的所有质数。然后，我从i=1..Integer.MAX_VALUE循环以测试每个new BigInteger(String.valueOf(i)).isProbablePrime(certainty) == isPrime(i)。

对于确定性5和10，isProbablePrime(...)沿线产生假阳性。但是使用isProbablePrime(15)，没有测试失败。

这是我的测试台：

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import java.math.BigInteger;
import java.util.BitSet;

public class Main {

static BitSet primes;

static boolean isPrime(int p) {
return p > 0 && (p == 2 || (p%2 != 0 && primes.get(p/2)));
}

static void generatePrimesUpTo(int n) {
primes = new BitSet(n/2);

for(int i = 0; i < primes.size(); i++) {
primes.set(i, true);
}

primes.set(0, false);
int stop = (int)Math.sqrt(n) + 1;
int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
System.out.println("generating primes...");
long start = System.currentTimeMillis();

for(int i = 0; i <= stop; i++) {
previousPercentageDone = percentageDone;
percentageDone = (int)((i + 1.0) / (stop / 100.0));

if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone) {
System.out.println(percentageDone +"%");
}

if(primes.get(i)) {
int number = (i * 2) + 1;

for(int p = number * 2; p < n; p += number) {
if(p < 0) break; // overflow
if(p%2 == 0) continue;
primes.set(p/2, false);
}
}
}
long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
System.out.println("finished generating primes ~" + (elapsed/1000) +" seconds");
}

private static void test(final int certainty, final int n) {
int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
long start = System.currentTimeMillis();
System.out.println("testing isProbablePrime(" + certainty +") from 1 to" + n);
for(int i = 1; i < n; i++) {
previousPercentageDone = percentageDone;
percentageDone = (int)((i + 1.0) / (n / 100.0));
if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone) {
System.out.println(percentageDone +"%");
}
BigInteger bigInt = new BigInteger(String.valueOf(i));
boolean bigIntSays = bigInt.isProbablePrime(certainty);
if(isPrime(i) != bigIntSays) {
System.out.println("ERROR: isProbablePrime(" + certainty +") returns"
+ bigIntSays +" for i=" + i +" while it" + (isPrime(i) ?"is" :"isn't" ) +
" a prime");
return;
}
}
long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
System.out.println("finished testing in ~" + ((elapsed/1000)/60) +
" minutes, no false positive or false negative found for isProbablePrime(" + certainty +")");
}

public static void main(String[] args) {
int certainty = Integer.parseInt(args[0]);
int n = Integer.MAX_VALUE;
generatePrimesUpTo(n);
test(certainty, n);
}
}

我通过这样做来运行：

1	java -Xmx1024m -cp . Main 15

在我的机器上，素数的生成花费了大约30秒。而对1..Integer.MAX_VALUE中所有i的实际测试花费了大约2小时15分钟。

相关讨论

这是最优雅的方式：

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public static boolean isPrime(int n) {
return !new String(new char[n]).matches(".?|(..+?)\\1+");
}

Java 1.4以上版本。无需进口。

太短了如此美丽。

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看看AKS素数测试(及其各种优化)。它是在多项式时间内运行的确定性素数检验。

图宾根大学(德国)的Java中有此算法的实现。

相关讨论

您迈出了消除2的所有倍数的第一步。

但是，您为什么停在那里？您可以消除3以外的所有3的倍数，5以外的所有5的所有倍数，等等。

当遵循此推理得出结论时，您会得到Eratosthenes筛。

相关讨论

Jaeschke(1993)提出的快速测试是Miller-Rabin测试的确定性版本，在4,759,123,141以下，没有误报，因此可以应用于Java int。

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// Given a positive number n, find the largest number m such
// that 2^m divides n.
private static int val2(int n) {
int m = 0;
if ((n&0xffff) == 0) {
n >>= 16;
m += 16;
}
if ((n&0xff) == 0) {
n >>= 8;
m += 8;
}
if ((n&0xf) == 0) {
n >>= 4;
m += 4;
}
if ((n&0x3) == 0) {
n >>= 2;
m += 2;
}
if (n > 1) {
m++
}
return m;
}

// For convenience, handle modular exponentiation via BigInteger.
private static int modPow(int base, int exponent, int m) {
BigInteger bigB = BigInteger.valueOf(base);
BigInteger bigE = BigInteger.valueOf(exponent);
BigInteger bigM = BigInteger.valueOf(m);
BigInteger bigR = bigB.modPow(bigE, bigM);
return bigR.intValue();
}

// Basic implementation.
private static boolean isStrongProbablePrime(int n, int base) {
int s = val2(n-1);
int d = modPow(b, n>>s, n);
if (d == 1) {
return true;
}
for (int i=1; i < s; i++) {
if (d+1 == n) {
return true;
}
d = d*d % n;
}
return d+1 == n;
}

public static boolean isPrime(int n) {
if ((n&1) == 0) {
return n == 2;
}
if (n < 9) {
return n > 1;
}

return isStrongProbablePrime(n, 2) && isStrongProbablePrime(n, 7) && isStrongProbablePrime(n, 61);
}

这不适用于long变量，但是不同的测试却可以：BPSW测试没有高达2 ^ 64的反例。这基本上由如上所述的2个可能的素数测试组成，然后由一个强大的Lucas测试组成，该测试稍微复杂一些，但根本没有区别。

这两项测试都比任何一种试验部门都要快得多。

如果您只是想查找一个数字是否为质数，那么它就足够了，但是如果您要查找从0到n的所有质数，则更好的选择是Eratosthenes筛

但这将取决于java在数组大小等方面的限制。

您的算法适用于相当小的数字。对于大数，应使用高级算法(例如，基于椭圆曲线)。另一个想法是使用一些"假素数"检验。这些将快速测试数字是否为质数，但它们并非100％准确。但是，与使用算法相比，它们可以帮助您更快地排除一些数字。

最后，尽管编译器可能会为您优化此操作，但您应该编写：

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int max = (int) (Math.sqrt(n) + 1);
for (int i = 3; i <= max; i = i + 2) {
}

当然，有数百种素数测试，所有这些测试都基于数量的大小，特殊形式，因子大小等而具有各种优点和缺点。

但是，在Java中，我发现最有用的是：

1	BigInteger.valueOf(long/int num).isProbablePrime(int certainty);

它已经实现，并且非常快(我发现一个1000x1000的矩阵大约需要6秒钟，其中填充了0到2 ^ 64的长整数，确定为15)，并且可能比我们凡人所能想到的更好。

它使用了Baillie–PSW素数测试的一个版本，尚无反例。 (尽管它可能会使用稍弱的测试版本，有时可能会出错。)

我认为这种方法是最好的。至少对于我来说-

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public static boolean isPrime(int num)
{
for (int i = 2; i<= num/i; i++)
{
if (num % i == 0)
{
return false;
}
}
return num > 1;
}

根据您需要测试的数字的长度，您可以预先计算一个小数值(n <10 ^ 6)的质数列表，如果要求的数字在此范围内，则首先使用该质数列表。当然，这是最快的方法。像其他答案中提到的那样，Eratosthenes筛是生成此类预计算列表的首选方法。

如果您的数字大于此数，则可以使用Rabin的素数检验。
拉宾素数检验

您所写的是大多数普通程序员所做的，并且在大多数时候应该足够了。

但是，如果您追求的是"最佳科学算法"，则http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number中记录了许多变化(确定性程度不同)。

例如，如果您有70位数字，则JVM的物理限制可能会阻止代码运行，在这种情况下，您可以使用"筛子"等。

再次，就像我说的，如果这是编程问题还是软件使用的一般性问题，您的代码应该是完美的:)

我在这里优化了审判部门：
它返回一个布尔值。
还需要除isPrime(n)以外的方法。

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static boolean[] smlprime = {false, false, true, true, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, 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public static boolean isPrime(long n) { //optimised
if (n < 2) {
return false;
}
if (n < smlprime.length) //less than smlprime.length do not need to be checked
{
return smlprime[(int) n]; //lol already checked
}

long[] dgt = longDigits(n);
long ones = dgt[dgt.length - 1];
if (ones % 2 == 0) {
return false;
}
if (ones == 0 || ones == 5) {
return false;
}
if (digitadd(n) % 3 == 0) {
return false;
}
if (n % 7 == 0) {
return false;
}
if (Square(n)) {
return false;
}
long hf = (long) Math.sqrt(n);
for (long j = 11; j < hf; j = nextProbablePrime(j)) {
//System.out.prlongln(Math.sqrt(i));
if (n % j == 0) {
return false;
}
//System.out.prlongln("res"+res);
}
return true;
}

public static long nextProbablePrime(long n) {
for (long i = n;; i++) {
if (i % 2 != 0 && i % 3 != 0 && i % 7 != 0) {
return i;
}
}
}

public static boolean Square(long n) {
long root = (long) Math.sqrt(n);
return root * root == n;
}

public static long[] longDigits(long n) {
String[] a = Long.toString(n).split("(?!^)");
long[] out = new long[a.length];
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
out[i] = Long.parseLong(a[i]);
}
return out;
}

public static long digitadd(long n) {
long[] dgts = longDigits(n);
long ans = 0;
for (long i : dgts) {
ans += i;
}
return ans;
}

算法效率：O(n ^(1/2))算法

注意：下面的示例代码包含计数变量和用于打印结果的打印函数调用：

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import java.util.*;

class Primality{
private static void printStats(int count, int n, boolean isPrime) {

System.err.println("Performed" + count +" checks, determined" + n
+ ( (isPrime) ?" is PRIME." :" is NOT PRIME." ) );
}
/**
* Improved O( n^(1/2)) ) Algorithm
* Checks if n is divisible by 2 or any odd number from 3 to sqrt(n).
* The only way to improve on this is to check if n is divisible by
* all KNOWN PRIMES from 2 to sqrt(n).
*
* @param n An integer to be checked for primality.
* @return true if n is prime, false if n is not prime.
**/
public static boolean primeBest(int n){
int count = 0;
// check lower boundaries on primality
if( n == 2 ){
printStats(++count, n, true);
return true;
} // 1 is not prime, even numbers > 2 are not prime
else if( n == 1 || (n & 1) == 0){
printStats(++count, n, false);
return false;
}

double sqrtN = Math.sqrt(n);
// Check for primality using odd numbers from 3 to sqrt(n)
for(int i = 3; i <= sqrtN; i += 2){
count++;
// n is not prime if it is evenly divisible by some 'i' in this range
if( n % i == 0 ){
printStats(++count, n, false);
return false;
}
}
// n is prime
printStats(++count, n, true);
return true;
}

public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
while(scan.hasNext()) {
int n = scan.nextInt();
primeBest(n);
System.out.println();
}
scan.close();
}
}

输入素数2147483647时，将产生以下输出：

执行23170次检查，确定2147483647为PRIME。

在Intel Atom @ 1.60GHz，2GB RAM，32位操作系统上进行了测试

测试结果：
Long.MAX_VALUE = 9223372036854775807以下的最大质数是9223372036854775783
经过时间为171499毫秒或2分51秒

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public class PrimalityTest
{
public static void main(String[] args)
{
long current_local_time = System.currentTimeMillis();
long long_number = 9223372036854775783L;
long long_a;
long long_b;
if (long_number < 2)
{
System.out.println(long_number +" is not a prime number");
}
else if (long_number < 4)
{
System.out.println(long_number +" is a prime number");
}
else if (long_number % 2 == 0)
{
System.out.println(long_number +" is not a prime number and is divisible by 2");
}
else
{
long_a = (long) (Math.ceil(Math.sqrt(long_number)));
terminate_loop:
{
for (long_b = 3; long_b <= long_a; long_b += 2)
{
if (long_number % long_b == 0)
{
System.out.println(long_number +" is not a prime number and is divisible by" + long_b);
break terminate_loop;
}
}
System.out.println(long_number +" is a prime number");
}
}
System.out.println("elapsed time:" + (System.currentTimeMillis() - current_local_time) +" millisecond/s");
}
}