动态规划—-“最小编辑距离”问题（C++解决）


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    • 问题描述
    • 提示
    • 代码
    • 运行
    • 程序流程图
    • 小结
    • 忠告

问题描述

给定两个字符串A和B，以及下列三种字符运算：
（1）删除一个字符（2）插入一个字符（3）将一个字符改写为另一个字符
设计算法求将A通过以上三种操作转换为B的最小次数
举例： “xy” => “xz”，只需要把 y 替换成 z，因此，最小编辑距离为 1。
“xyz” => “xy”，只需要删除 z ，请设计动态规划算法。

提示

  1. 如果 a[m] === b[n]，那么问题转化为求解：a[1]a[2]…a[m-1] => b[1]b[2]…b[n-1] 的最小编辑距离，因此 d[m][n] === d[m-1][n-1]。比如，“xyz” => “pqz” 的最小编辑距离等于 “xy” =>“pq” 的最小编辑距离。
  2. 如果 a[m] !== b[n]，又分为三种情况： ? 比如，“xyz” => “efg” 的最小编辑距离等于 “xy” => “efg” 的最小编辑距离 + 1（因为允许插入操作，插入一个 “z”），抽象的描述便是 d[m][n] === d[m-1][n] + 1。
    ? 比如，“xyz” => “efg” 的最小编辑距离等于 “xyzg” => “efg” 的最小编辑距离 +1，且因为最后一个字符都是 “g”，根据第一个判断条件，可以再等于 “xyz” => “ef” 的最小编辑距离 +1，因此，得到结论：“xyz” => “efg” 的最小编辑距离等于 “xyz” => “ef” 的最小编辑距离 +1，抽象的描述便是：d[m][n] === d[m][n-1] + 1。 ? 比如，“xyz” => “efg” 的最小编辑距离等于"xyg" => “efg” 的最小编辑距离 + 1（因为允许替换操作，可以把 “g” 换成 “z”），再等于 “xy” => “ef”
    的编辑距离 + 1（根据第一个判断条件），抽象的描述便是： d[m][n] === d[m-1][n-1] + 1。
    上述三种情况都有可能出现，因此，取其中的最小值便是整体上的最小编辑距离。
  3. 如果 a 的长度为 0，那么 a => b 的最小编辑距离为 b 的长度；反过来，如果 b 的长度为 0，那么 a => b 的最小编辑距离为 a 的长度。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
//#include <iostream>
//#include <string.h>
//#include <vector>
//#include <algorithm>//min()包含头文件
using namespace std;
int main(){<!-- -->
    char str1[1025],str2[1025];//长度不超过1024,长度最小要声明为1024+1,因为字符串末尾有空字符。
    int n,m,temp;
    while(cin>>str1>>str2){<!-- -->//循环输入两个字符串
        m=strlen(str1);
        n=strlen(str2);
        vector<vector<int> > dp(m+1,vector<int>(n+1,0));//生成一个m+1行n+1列的二维矩阵记录当前的状态值
        //初始化
        for(int i=1;i<=m;i++)//dp[i][0]=i，例如dp[2][0]表示一个长度为2的字符串str1与一个空字符串str2的最小编辑距离为2（即依次将str1中的字符添加到str2中）
            dp[i][0]=i;
        for(int j=0;j<=n;j++)//dp[0][j]=j，例如dp[0][1]表示一个空字符串str1与一个长度为1的字符串str2的最小编辑距离为1（即依次将str2中的字符添加到str1中）
            dp[0][j]=j;
        dp[0][0]=0;//空字符串与空字符串之间的最小编辑距离为0
        for(int i=1;i<=m;i++){<!-- -->
            for(int j=1;j<=n;j++){<!-- -->
                if(str2[j-1]==str1[i-1])//注意：字符串str1和str2中的索引是从0开始的，而1<=i<=m,1<=j<=n,所以这里的i和j要减1
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                else{<!-- -->
                    temp=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
                    dp[i][j]=min(temp,dp[i-1][j-1])+1;
                }  
            }
        }
        cout<<dp[m][n]<<endl;//最终的dp[m][n]为两字符串之间的最小编辑距离
    }
    return 0;
}

运行

（1）
在这里插入图片描述
（2）
在这里插入图片描述
（3）
在这里插入图片描述

程序流程图

在这里插入图片描述

小结

（1） 要用动态规划算法解决问题，要求该问题应该具有“最优子结构”和“重叠子问题”这两个基本要素；
（2） 在用动态规划算法自顶向下解决问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被重复计算。而正是利用子问题重叠的性质，对每个子问题只解一次，然后将其保存在一个表格中。本题中正是将求出来的“最小编辑距离”保存在一个动态的可变数组中；
（3） “备忘录方法”正是用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解决此子问题时，只需简单地查看该子问题的解答，而不必重复计算。

忠告

各位在借鉴时（实验报告）最好不要完全一样喔！！！！！！！！！