给定一个单纯形网格
T
\mathcal{T}
T, 其有
N
N
NN
NN 个节点，
N
C
NC
NC 个单元。 定义在
T
\mathcal{T}
T 的分片
p
p
p 次连续有限元空间
V
h
V_h
Vh? 有
g
d
o
f
gdof
gdof 个基函数， 其组成的函数的行向量为：
?
=
[
?
0
,
?
1
,
?
?
,
?
g
d
o
f
?
1
]
,
\phi=[\phi_0,\phi_1,\cdots,\phi_{gdof-1}],
?=[?0?,?1?,?,?gdof?1?],
限制在每个网格单元
τ
\tau
τ 上， 共有
l
d
o
f
ldof
ldof 个基函数：
?
τ
=
[
?
0
,
?
1
,
?
?
,
?
l
d
o
f
?
1
]
.
\phi_{\tau}=[\phi_0,\phi_1,\cdots, \phi_{ldof-1}].
?τ?=[?0?,?1?,?,?ldof?1?].
此时 stiff matrix 为
A
=
∫
Ω
(
?
?
)
T
?
?
?
d
x
.
A=\int_{\Omega} (\nabla \phi)^T\nabla\phi\,\mathrm{d}\bm{x}.
A=∫Ω?(??)T??dx.
注意
A
A
A 是一个稀疏矩阵。 Fealpy 的想法是先在局部组装刚度矩阵，再以某种方式拼接在一起得到全局的刚度矩阵。 实际计算中， Fealpy 采用数值积分的方式来实现：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | # 刚度矩阵的计算 # 假设已经定义好 mesh 和 space qf = mesh.integrator(q, 'cell') # 获得第q个积分公式 bcs, ws = qf.get_quadrature_points_and_weights() # 拿到相应的重心坐标和权重 cellmeasure = mesh.entity_measure('cell') # 得到单元的面积 gphi = space.grad_basis(bcs) # 计算基函数在重心坐标处的梯度值(NQ, NC, ldof, GD) # NC: 单元个数 ldof:局部基函数个数 # GD: 几何维数 NQ:积分点个数 # 组装刚度矩阵 A.shape==(NC, ldof, ldof) <= (ldof, gd) * (gd, ldof) A = np.einsum('i, ijkl, ijml, j -> jkl', ws, gphi, gphi, cellmeasure) |
我们来说明一下上述代码中的最后一行：‘i’ 代表权重，‘l’代表gd, 由einsum知， 这是对权重和gd求和， 正好是我们要得到的式子。
有了单元刚度矩阵，我们便可以计算总体刚度矩阵。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | import scipy.sparse import csr_matrix gdof = space.number_of_global_dof() # 全局自由度的个数 # (NC, ldof) cell2dof[i,j] 存储第i个单元上局部第j个自由度的全局编号 cell2dof = space.cell_to_dof() # (NC, ldof) -> (Nc, ldof,1) -> (NC, ldof, ldof) I = np.broadcast_to(cell2dof[:, :, None], shape=A.shape) # (NC, ldof) -> (NC, 1, ldof) -> (NC, ldof, ldof) J = np.broadcast_to(cell2dof[:, None, :], shape=A.shape) A = csr_matrix((A.flat, (I.flat, J.flat)), shape=(gdodf, gdof)) |
类似地， 单元载荷向量的组装便很简单了：
实现的代码如下：
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笔者感悟： 我在魏老师上课代码中加了一个扩散项的组装，经过与fealpy中space.stiff_matrix(c=diffusion_coefficient) 比对，结果是对的。 我花了三小节的时间来整理、处理矩阵的组装， 是因为我觉得这是fealpy 的灵魂所在：包括cell_to_dof， csr_matrix, np.einsum 的引入等等。学习felapy, 我们要学到其背后的原理与编程的想法， 这对我我们解自己专业的问题至关重要。我这么说并不意味着用fealpy解PDE都要自己组装。 事实上， 魏老师写了很多PDE的接口， 下一节我们就来介绍这些接口， 和展示一些数值实验。