微积分复习


复习用书：《同济高等数学》第五版

第一章 函数与极限

  • 集合：具有某种特定性质的事物的总统，其中的元素简称元
  • 常用集合：全体正整数N, 全体整数Z，全体有理数Q，全体实数R
  • 领域：以点a为中心的任何开区间称为a的邻域，记为U(a)
  • 基本初等函数：包括 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数
  • 数列极限：
    xnx_n

    xn?为数列,

    ?a,??,?N,n>N→∣xn?a∣<?\exist a,\forall\epsilon,\exist N, n>N\rightarrow|x_n-a|<\epsilon

    ?a,??,?N,n>N→∣xn??a∣

  • 数列收敛性质：极限唯一，有界,保号
  • 若数列收敛，则它任一子数列也收敛
  • 函数极限：
    f(x)f(x)

    f(x)为函数，

    ?A,??,?δ,0<∣x?x0∣<δ→∣f(x)?A∣<?\exist A,\forall \epsilon,\exist \delta,0<|x-x_0|<\delta\rightarrow|f(x)-A|<\epsilon

    ?A,??,?δ,0<∣x?x0?∣<δ→∣f(x)?A∣

  • 夹逼定理
  • 单调有界数列必有极限
  • 柯西存在定理：数列
    xnx_n

    xn?

    ??,?N,m>N∧n>N→∣xn?xm∣<?\forall \epsilon,\exist N, m>N \wedge n>N\rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon

    ??,?N,m>N∧n>N→∣xn??xm?∣

  • 反函数的单调性和原函数一致
  • 有界与最值：闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值
  • 零点定理：设
    f(x)f(x)

    f(x)在[a,b]是连续且

    f(a)?f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0

    f(a)?f(b)<0, 则(a,b)至少存在一个零点

  • 介值定理
  • 函数一致连续：函数
    f(x)f(x)

    f(x)

    ??,?δ>0,?x1?x2,∣x1?x2∣<δ→∣f(x1)?f(x2)∣<?\forall \epsilon, \exist \delta>0, \forall x_1\forall x_2,|x_1-x_2|<\delta\rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon

    ??,?δ>0,?x1??x2?,∣x1??x2?∣<δ→∣f(x1?)?f(x2?)∣

  • 一致连续则连续，连续不一定一致连续。如果在闭区间上连续则一致连续

第二章 导数与微分

第三章 微分中值定理与导数的应用

第四章 不定积分

第五章 定积分

第六章 定积分的应用

第七章 空间解析集合与向量代数