最优分配问题求解——拍卖算法

现在面临一个问题。

有三个人，A、B、C：

有三个物品，1、2、3：

需要将这三个物体分给三个人，每人一个。每个人对三个物品的喜好不同，要怎样分配才能让三个人的总满意度最高？

分配问题 广泛存在于生产和生活中。例如为一组工作人员分配任务，或者为作战小组分配进攻目标等等。在分配过程中，精明的分配者一定会实现某个目的，例如让每个工作人员充分发挥专长，最高质量地完成任务；或者为每个作战小组分配相距最近的进攻目标，最快速地结束战斗。怎样分配能实现这些目的，就是分配问题的解。

拍卖算法是用来解决这类问题的经典算法，灵感来自于经济活动中的拍卖过程，是一种能够在有限步计算中获得最佳分配的算法。

回到我们开始时的例子。A先生擅长球类运动，滑板也略有涉及，但是对在海浪里穿梭这项运动并不感冒。因此A先生最想要网球拍，有点想要滑板，完全不想要冲浪板。根据三个物品对于A先生的重要性，我们为这三项物品打分为4、2、0。在这个例子中，我们打分并没有复杂的规则：某人想要某件物品的愿望越迫切，打分越高。同样，其余两位也表达了自己的喜好。于是我们得到了下面这张图。

图中线上的数字表示某人对某物品的打分，也就是喜好。从物品的角度而言，线上的数字代表如果某一个物体被分配给了某个人，将会给这个人带来多少好处(即，价值 Value，文献中常用 $\alpha_{ij}$ 表示 j 物品分配给第 i 个人的价值)。

为了实现总体满意度最高的分配，三位先生坐在一起竞争物品的归属。按照商业原则，当我们和竞争对手想买同一件物品时，我们必须付比对手更多的钱(即，价格 Price，文献中常用 $p_j$ 表示 j 物品的价格)，才能将物品据为己有。于是三位先生开始对物品报价。

在首次出价之前，三个物品的起拍价都是0。

A先生首先出价。对于A先生而言，目前三个物品的价格都是0。如果A先生选择购买1物品，那么花费0元购得4点的价值，A先生这笔交易的收益(即，净利润 Profit) 为 $4-0=4$ 。

重要公式1: 收益计算公式 $profit=value-price$

A先生购买1、2、3三个物品的收益分别为4、2、0。算法为每个人赋予了自利性，即总是选择收益最高的物品，这也是算法最终得到最优解的重要保证。基于自利性，A先生选择了1物品，并对1物品报价，提高了它的价格。价格提高的幅度在 $\varepsilon$ 到 $\pi+\varepsilon$ 之间，即每次报价最少比原来提高 $\varepsilon$ ，最多比原来提高 $\pi+\varepsilon$ (增幅范围的意义和 $\pi$ 的详细计算将在下文中阐述，本例中选取 $\varepsilon =0.3$ )。