算法分析与实践-作业13-1圆排列问题(分支限界)


圆排列问题

1. 问题

给定n个大小不等的圆c1,c2,…,cn，现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。
例如，当n=3，且所给的3个圆的半径分别为1，1，2时，这3个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为2+4√2。
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2.解析

圆排列问题的主要思路是排列问题，通过建立排列树，再进行回溯剪枝，得出最优排列。
每次修改一个圆的排列位置，若修改后的排列长度变小，则在当前排列的前提下继续排列，否则回溯。
每次排列后，相切情况下圆的X坐标计算公式：x2 =(r+ri)2 + (r-ri)2,推出x = 2*sqrt(r+ri);r为自身半径，ri为相切圆半径。
考虑最坏情况，即x最大时，x+r0+r为当前最小圆排列长度。当遍历完所有排列后，留下的就是最优圆排列。
用回溯法先构造出排列，再根据每种排列计算其对应的长度。如何计算长度？根据排列计算每个圆的圆心坐标，然后再找出整个圆排列最左边的坐标和最右边的坐标，相减即可得出该种情况的长度。由于计算一个圆的圆心时不知道这个圆到底和之前的哪个圆相切，所以需要遍历之前所有的圆，求出符合所有条件的圆心坐标。

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3. 设计

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double center(int t)//得到每个圆的圆心坐标
{
       double temp = 0;
       for(int j = 1; j < t; ++j)//因为目标圆有可能与排在它之前的任一圆相切，故需一一判断
       {
              //计算圆横坐标
              double xvalue = x[j] + 2.0 * sqrt(r[t] * r[j]);
              if(xvalue > temp)
                     temp = xvalue;
       }
       return temp;
}
void compute() //根据每种排列计算其对应的长度
{
       double low = 0, high = 0;
       for(int i = 1; i < N; ++i)
       {
              if(x[i] - r[i] < low) {
                     low = x[i] - r[i];
              }
              if(x[i] + r[i] > high) {
                     high = x[i] + r[i];
              }
       }
       if(high - low < minlen) {
              minlen = high - low; //记录最小长度
              for(int i = 1; i < N; ++i)
                     bestr[i] = r[i]; //记录最小半径下的圆排列
       }
}
void backtrack(int t) //回溯过程构造出排列树
{
       if(t == N)
       {
              compute();
       }
       else
       {
              //计算当前最优排列长度
              for(int j = t; j < N; ++j)
              {
                     swap(r[t], r[j]);
                     double centerx = center(t);
                     //剪纸
                     if(centerx + r[t] + r[1] < minlen)
                     {
                            x[t] = centerx;
                            backtrack(t + 1);
                     }
                     //回溯，开始下一种排列
                     swap(r[t], r[j]);
              }
       }
}

4. 分析

最坏的情况，有n个顶点，每个顶点有m种颜色，其有n-1个子节点

O(n) = n*mn-1/m-1=O(nmn)

5.源码

https://github.com/Bacsonlx/Algorithm-analysis