HDU-3507 | 码农家园

HDU-3507 斜率DP

第一次写斜率dp，详细记录一下自己的想法当笔记吧，虽然不一定对。
HDU-3507 ，给出数列

a [i] a[i]

a[i]，打印连续数列段

k k

k到

j j

j代价为

(s u m [j] ? s u m [k ? 1])^{2} + m (sum[j]-sum[k-1])^2+m

(sum[j]?sum[k?1])2+m，求打印全部数列最小代价。

比较

k + 1, j + 1 k+1,\ j+1

k+1, j+1哪个更适合和

i i

i放一起，

k + 1 < j + 1 < i k+1

k+1

$d p [j] + (s [i] ? s [j])^{2} + m < = d p [k] + (s [i] ? s [k])^{2} + m dp[j]+(s[i]-s[j])^2+m<=dp[k]+(s[i]-s[k])^2+m$

dp[j]+(s[i]?s[j])2+m<=dp[k]+(s[i]?s[k])2+m

$d p [j] + s [j]^{2} ? 2 \times s [i] \times s [j] < = d p [k] + s [k]^{2} ? 2 \times s [i] \times s [k] dp[j]+s[j]^2-2\times s[i]\times s[j]<=dp[k]+s[k]^2-2\times s[i]\times s[k]$

dp[j]+s[j]2?2×s[i]×s[j]<=dp[k]+s[k]2?2×s[i]×s[k]

$(d p [j] + s [j]^{2}) ? (d p [k] + s [k]^{2}) < = 2 \times (s [j] ? s [k]) \times s [i] (dp[j]+s[j]^2)-(dp[k]+s[k]^2)<=2\times(s[j]-s[k])\times s[i]$

(dp[j]+s[j]2)?(dp[k]+s[k]2)<=2×(s[j]?s[k])×s[i]

$K = \frac{(d p [j] + s [j]^{2}) ? (d p [k] + s [k]^{2})}{2 \times (s [j] ? s [k]) \times s [i]} < = s [i] K=\frac{(dp[j]+s[j]^2)-(dp[k]+s[k]^2)}{2\times(s[j]-s[k])\times s[i]}<=s[i]$

K=2×(s[j]?s[k])×s[i](dp[j]+s[j]2)?(dp[k]+s[k]2)?<=s[i]

即：

K < s [i] K

Kj+1j+1

j+1更合适。

一至三点

k < j < i k

kxx

x。

下凸：

K_{1} < K_{2} K_1

K1?

1）

K_{1} < K_{2} < s [x] K_1

K1?ii

i最优

2）

K_{1} < s [x] < K_{2} K_1

K1?jj

j最优

3）

s [x] < K_{1} < K_{2} s[x]

s[x]kk

k最优

故可采用维持队列下凸，仅比较相邻点可找到最优，即在

O (n) O(n)

O(n)内完成。

下凹：

K_{1} > K_{2} K_1>K_2

K1?>K2?：

1）

s [x] > K_{1} > K_{2} s[x]>K_1>K_2

s[x]>K1?>K2?，

i i

i最优

2）

K_{1} > s [x] > K_{2} K_1>s[x]>K_2

K1?>s[x]>K2?，

k, i k,\ i

k, i都比

j j

j优，需再比较

K_{k, i} K_{k,\ i}

Kk, i?与

s [x] s[x]

s[x]判断最终谁优。

3）

K_{1} > K_{2} > s [x] K_1>K_2>s[x]

K1?>K2?>s[x]，

k k

k最优。

故可采用维持队列下凸，需比较任意两点可找到最优，即在

O (n^{2}) O(n^2)

O(n2)内完成。

本题采用

O (n^{2}) O(n^2)

O(n2)超时，故维护下凸即可。

证明如下操作后，最终中间过程以及最终获得队列必为下凸：采用数学归纳。

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ll dp[maxn], a[maxn], s[maxn], m;
int q[maxn], n;
ll up(int j, int k){
return (dp[j]+s[j]*s[j])-(dp[k]+s[k]*s[k]);
}
ll dow(int j, int k){
return 2*(s[j]-s[k]);
}
ll sol(int j, int i){//选j+1到i
return dp[j]+m+(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j]);
}
int main(){
while(scanf("%d%lld", &n, &m)!=EOF){
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%lld", &a[i]);
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
int st=0, t=0;
q[t++]=0;
for(int i=1; i<=n; i++){
while(st+1<t && up(q[st+1], q[st])<=s[i]*dow(q[st+1], q[st]))
st++;
dp[i]=sol(q[st], i);
while(st+1<t && up(i, q[t-1])*dow(q[t-1], q[t-2])<=
up(q[t-1], q[t-2])*dow(i, q[t-1])) t--;
q[t++]=i;
}
printf("%lld\n", dp[n]);
}
}