leetcode – [动态规划] -最大正方形（221）


1、问题描述

在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。

示例:

输入:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
输出: 4

2、 解题思路

思路1：暴力法。对于矩阵中的每个元素，求以其为左上角顶点，可得到的最大正方形。
这种方法的时间复杂度为

O(N2M2)O(N^2M^2)

O(N2M2)，遍历每个元素需要

O(NM)O(NM)

O(NM)的时间复杂度，求以该元素为左上角顶点的最大正方形需要

O(NM)O(NM)

O(NM)时间复杂度。
空间复杂度：

O(1)O(1)

O(1)。
思路2：动态规划。
（1）定义状态：

dp[i][j]dp[i][j]

dp[i][j]：以

matrix[i][j]matrix[i][j]

matrix[i][j]（

matrix[i][j]==1matrix[i][j]==1

matrix[i][j]==1）为右下角元素的最大正方形的边长。
（2）状态转移：
以

matrix[i][j]matrix[i][j]

matrix[i][j]为右下角顶点的最大正方形的边长受限于，以该元素的上方元素

matrix[i?1][j]matrix[i-1][j]

matrix[i?1][j]为右下角顶点的最大正方形的边长，以该元素的左边元素

matrix[i][j?1]matrix[i][j-1]

matrix[i][j?1]为右下角顶点的最大正方形的边长、以该元素的左上方元素

matrxi[i?1][j?1]matrxi[i-1][j-1]

matrxi[i?1][j?1]为右下角顶点的最大正方形的边长这三者中的最小值。
即:

dp[i][j]=min{dp[i?1][j],dp[i][j?1],dp[i?1][j?1]}+1dp[i][j] = min\{dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]\} + 1

dp[i][j]=min{dp[i?1][j],dp[i][j?1],dp[i?1][j?1]}+1
为什么，可以看下图：
先简述下常识：

  • 形成正方形（非单 1），以当前为右下角的视角看，则需要：当前格、上、左、左上都是 1
  • 可以换个角度：当前格、上、左、左上都不能受 0 的限制，才能成为正方形

在这里插入图片描述
上面详解了 三者取最小 的含义：

  • 图1：受限于左上的0
  • 图2：受限于上边的0
  • 图3：受限于左边的0
  • 数字表示：以此为正方形右下角的最大边长
  • 黄色表示：格子 ? 作为右下角的正方形区域

（3）确定初始：
第一行和第一列为原值；
（4）确定终止：

max(dp[i][j])?max(dp[i][j])max(dp[i][j])* max(dp[i][j])

max(dp[i][j])?max(dp[i][j])，即最大边长的平方。
时间复杂度：

O(NM)O(NM)

O(NM)，
空间复杂度：

O(NM)O(NM)

O(NM).

3、代码实现

1
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class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int rows = matrix.size();
        int cols = rows > 0 ? matrix[0].size() : 0;
        vector<vector<int>>dp(rows+1, vector<int>(cols+1,0));
        int maxlen = 0;

        for(int i = 1; i <=rows; i++){
            for(int j = 1; j <=cols; j++){
                if(matrix[i - 1][j - 1] == '1'){
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])) + 1;
                    // cout<<"dp["<<i<<"]="<<"["<<j<<"]="<<dp[i][j]<<endl;
                    if(dp[i][j] > maxlen){
                        maxlen = dp[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        return maxlen * maxlen;
       


    }
};