洛谷 P1462 通往奥格瑞玛的道路 二分答案 + SPFA 超详解~


题目背景
在艾泽拉斯大陆上有一位名叫歪嘴哦的神奇术士，他是部落的中坚力量

有一天他醒来后发现自己居然到了联盟的主城暴风城

在被众多联盟的士兵攻击后，他决定逃回自己的家乡奥格瑞玛

题目描述
在艾泽拉斯，有n个城市。编号为1,2,3,…,n。

城市之间有m条双向的公路，连接着两个城市，从某个城市到另一个城市，会遭到联盟的攻击，进而损失一定的血量。

每次经过一个城市，都会被收取一定的过路费（包括起点和终点）。路上并没有收费站。

假设1为暴风城，n为奥格瑞玛，而他的血量最多为b，出发时他的血量是满的。

歪嘴哦不希望花很多钱，他想知道，在可以到达奥格瑞玛的情况下，他所经过的所有城市中最多的一次收取的费用的最小值是多少。

输入格式
第一行3个正整数，n，m，b。分别表示有n个城市，m条公路，歪嘴哦的血量为b。

接下来有n行，每行1个正整数，fi。表示经过城市i，需要交费fi元。

再接下来有m行，每行3个正整数，ai，bi，ci(1<=ai，bi<=n)。表示城市ai和城市bi之间有一条公路，如果从城市ai到城市bi，或者从城市bi到城市ai，会损失ci的血量。

输出格式
仅一个整数，表示歪嘴哦交费最多的一次的最小值。

如果他无法到达奥格瑞玛，输出AFK。

输入输出样例
输入 #1复制
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2 1 2
2 4 1
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3 4 3
输出 #1复制
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说明/提示
对于60%的数据，满足n≤200，m≤10000，b≤200

对于100%的数据，满足n≤10000，m≤50000，b≤1000000000

对于100%的数据，满足ci≤1000000000，fi≤1000000000，可能有两条边连接着相同的城市。

题意：到每个路口都要收取费用，到达终点路可能有很多条，取这些路里面付费最多的一个路口放进集合里面，求这个集合里面的最小值

思路（二分 + SPFA）：

1.嗯，题意有点绕，理解了之后可能会想，怎么把路口花费的限制和血量，也就是最短路联系到一起呢？我们很直观可以发现血量和最短路是挂钩的，其中能不能有解就是最短路小于血量（不能等于）。
2.但是最短路怎么和某个点的花费构成联系呢？网上很多题解就丢给你一个二分，说二分写就行了，但不解释为什么。我这里给出我认为之所以二分的原因。
· 你想，如果我选定了一个路口的花费最为本次路径的最大花费，那么我在SPFA里面跑的时候，比它大的点都不能选，这会产生什么限制性因素呢？可能我借某个路口中转一下就能到终点了，但是由于花费限制我不能选这个点，导致我到不了终点，或者到了终点血量都空了。
· 换言之，选定一个路口的花费会减少我路径上点的选择。那我们就把这个二分翻译一下，我当前最多花费这么多，能跑的下来吗？能跑下来我就继续压缩范围，说明我还可以用更少的花费跑完。因为花费无非限制点的个数，我m个点能跑的下来，那m-1为何不试一下呢？（也就是继续二分）。而如果我当前跑不完或者血条空了，说明啥？二分给SPFA的点太少啦，SPFA：“就给我这两个点让我泡，你怎么会不试一试？还不多给我两个点！？” 二分：“好的好的，这就把二分区间上调，花费放松一点~”（L = mid +1）。

不废话，上代码（个别代码细节看一下注释，感觉不小心就会WA）

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <limits.h>
#define maxn 10000+500
using namespace std;
typedef long long ll;
int static inf = 0x3f3f3f3f;
vector<pair<ll,ll> >  D[maxn];
ll d[maxn];
ll vis[maxn];
ll cost[maxn];
ll n,m;
ll blood;

void init()
{
        for(int i=1;i<=n;i++)
        vis[i] = 0, d[i] = inf, D[i].clear();
}

ll SPFA(ll x)       //x是上限
{
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(d,inf,sizeof(d));
        queue<ll> q;
        d[1] = 0;
        q.push(1);
        vis[1] = 1;
        while(!q.empty())
        {
            ll now =  q.front();
            q.pop(), vis[now] = 0;
            for(int i=0;i<D[now].size();i++)
            {
                    ll v = D[now][i].first;
                    if(cost[v]>x)  continue;        //这个点的花费不能我的上限
                    if(d[v]>d[now] + D[now][i].second)
                    {
                       //     cout<<"wa"<<endl;
                            d[v] = d[now] + D[now][i].second;
                            vis[v] = 1;
                            q.push(v);
                    }
            }
        }
        return d[n] ;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&blood);
    init();
    ll L = inf, R = -1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
            scanf("%lld",&cost[i]);
            L = min(L,cost[i]);     //取上下界
            R = max(R,cost[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
   {
        ll x,y,z;
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
        D[x].push_back(make_pair(y,z));     //生成边
        D[y].push_back(make_pair(x,z));
   }
   while(L<R)       //右端点可能不动，所以L不能写成<=R
   {
        ll mid = (L+R)>>1;
        ll ans = SPFA(mid);
        if(ans>=blood)
        L = mid + 1;
        else
        R = mid;        //注意mid这个点可能是切合题意的点，不能直接mid-1。
   }
   if(SPFA(L)<blood)        //跑完发现血条未空，而且又是最小花费，没问题。
   printf("%lld\n",L);
   else
   printf("AFK\n");
    return 0;
}