关于逻辑：Coq中的true = false是什么意思？

What does `true = false` mean in Coq?

[我不确定这是否适合堆栈溢出，但是这里还有许多其他Coq问题，也许有人可以提供帮助。]

我正在通过http://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf/Basics.html#lab28(下面介绍Case的地方)进行以下操作。请注意，我是一个完全的初学者，并且正在家里工作-我不是学生。

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Theorem andb_true_elim1 : forall b c : bool,
andb b c = true -> b = true.
Proof.
intros b c H.
destruct b.
Case"b = true".
reflexivity.
Case"b = false".
rewrite <- H. reflexivity.
Qed.

我正在查看重写的作用：

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Case :="b = false" : String.string
c : bool
H : andb false c = true
============================
false = true

然后应用rewrite <- H.：

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Case :="b = false" : String.string
c : bool
H : andb false c = true
============================
false = andb false c

很明显，证明将如何成功。

我可以看到如何以机械方式操纵符号来获得证明。没关系。但是我对"含义"感到不安。特别是，如何在证明中间包含false = true？

似乎我在提出一些有矛盾的论点，但我不确定是什么。我觉得我一直在盲目遵循规则，并以某种方式到达了我胡说八道的地步。

我在上面做什么？

我希望问题清楚。

相关讨论

通常，当您在一个定理证明者中进行案例分析时，很多案例会归结为"无法发生"。例如，如果要证明有关整数的某些事实，则可能需要对整数i是正数，零数还是负数进行案例分析。但是，在您的情况下或目标的某些部分可能还存在其他假设，这些假设与其中一种情况是矛盾的。例如，您可能从先前的断言中知道i永远不能为负。

但是Coq并不那么聪明。因此，您仍然必须仔细研究一下这样的机制，即可以将两个矛盾的假设粘合在一起，成为荒谬的证明，从而证明您的定理。

像在计算机程序中那样思考：

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switch (k) {
case X:
/* do stuff */
break;
case Y:
/* do other stuff */
break;
default:
assert(false,"can't ever happen");
}

false = true目标是"不可能发生"。但是，您不能只是在Coq中断言自己的出路。实际上，您必须放下证明条款。

因此，您必须证明荒谬的目标false = true。唯一要做的就是假设H: andb false c = true。片刻的想法就会告诉您，这实际上是一个荒谬的假设(因为对于任何y，andb false y都简化为false，因此不可能为真)。因此，只有您可以使用的唯一目标(即H)实现目标，而新目标是false = andb false c。

因此您运用了一个荒谬的假设，试图实现一个荒谬的目标。看得出您最终会得到一些可以通过反射实际显示的东西。 Qed。

更新正式地，这是发生了什么。

回想一下，Coq中的每个归纳定义都带有归纳原理。以下是等式和False命题的归纳原理的类型(与类型为bool的术语False相对)：

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Check eq_ind.
eq_ind
: forall (A : Type) (x : A) (P : A -> Prop),
P x -> forall y : A, x = y -> P y
Check False_ind.
False_ind
: forall P : Prop, False -> P

False的归纳原理说，如果您给我False的证明，我可以给您证明任何命题P。

eq的归纳原理更加复杂。让我们考虑它仅限于bool。特别是False。它说：

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Check eq_ind false.
eq_ind false
: forall P : bool -> Prop, P false -> forall y : bool, false = y -> P y

因此，如果您从某个依赖于布尔b的命题P(b)开始，并且有一个P(false)的证明，那么对于等于False的任何其他布尔y P(y)。

的证明

这听起来并不很有趣，但是我们可以将其应用于我们想要的任何命题P。我们想要一个特别讨厌的人。

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Check eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True).
eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True)
: (fun b : bool => if b then False else True) false ->
forall y : bool,
false = y -> (fun b : bool => if b then False else True) y

简化一下，这就是True -> forall y : bool, false = y -> (if y then False else True)。

所以这想要一个True的证明，然后是我们可以选择的一些布尔y。因此，让我们这样做。

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Check eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True) I true.
eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True) I true
: false = true -> (fun b : bool => if b then False else True) true

这里是：false = true -> False。

结合我们对False的归纳原理的了解，我们得到：如果您给我一个false = true的证明，则我可以证明任何命题。

回到andb_true_elim1。我们有一个假设H，它是false = true。我们想证明某种目标。如上所示，存在一个证明术语，可以将false = true的证明转化为您想要的任何东西的证明。因此，特别是H是false = true的证明，因此您现在可以证明您想要的任何目标。

战术基本上是建立证明条件的机制。