关于coq：关于相互归纳命题的证明

A proof about a mutually inductive proposition

考虑以下代码：

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Require Import List.

Set Implicit Arguments.

Inductive even_length {A : Type} : list A -> Prop:=
| e_nil : even_length nil
| e_cons : forall e l, odd_length l -> even_length (e::l)
with
odd_length {A : Type} : list A -> Prop :=
| o_cons : forall e l, even_length l -> odd_length (e::l).

Lemma map_even : forall A B (f : A -> B) (l : list A),
even_length l -> even_length (map f l).
Proof.
induction l.
(** nil *)
- intros. simpl. econstructor.
(** cons *)
- intros. simpl.
inversion_clear H.
econstructor.
Abort. (** odd_length l -> odd_length (map f l) would help *)

请注意，我希望通过对列表l的归纳来证明这一点。

如此处所述，默认情况下，Coq仅生成非互归原理，并且要获取互归原理，必须使用Scheme命令。
这就是我所做的：

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Scheme even_length_mut := Induction for even_length Sort Prop
with odd_length_mut := Induction for odd_length Sort Prop.

Check even_length_mut.
(**
even_length_mut
: forall (A : Type) (P : forall l : list A, even_length l -> Prop) (P0 : forall l : list A, odd_length l -> Prop),
P nil e_nil ->
(forall (e : A) (l : list A) (o : odd_length l), P0 l o -> P (e :: l) (e_cons e o)) ->
(forall (e : A) (l : list A) (e0 : even_length l), P l e0 -> P0 (e :: l) (o_cons e e0)) -> forall (l : list A) (e : even_length l), P l e
*)

通过上面的这种类型以及我看到的示例，我设法像下面这样完成了证明：

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Lemma map_even : forall A B (f : A -> B) (l : list A),
even_length l -> even_length (map f l).
Proof.
intros.
apply (even_length_mut (fun l (h : even_length l) => even_length (map f l) )
(fun l (h : odd_length l) => odd_length (map f l) )
);
try econstructor; auto.
Qed.

但是，这种归纳并没有超过l，这就是所谓的"证据之上的归纳"。

我的问题是even_length_mut中的谓词应该是什么，所以
感应超过l？

编辑：另外，有可能得到odd_length l -> odd_length (map f l)假设吗？