关于类型：如何在 Isabelle 中对”布尔值”进行归纳定义


How to do an inductive definition over "booleans" in Isabelle

在 Isabelle 中，我想定义接受谓词 'a => bool 的运算符，并根据"谓词的归纳结构"对其进行修改。例如，人们可能想要计算这些谓词的析取范式(DNF)，例如D (?? x. P x --> Q x) = (?? x. ?? P x \\/ Q x).

这里的问题是 bool 不是归纳数据类型。我想到了两种可能的解决方案：

  • 创建一个归纳数据类型，允许我在它们上定义我的运算符。为这个数据类型提供谓词 (P::'a => bool) 语义，然后用它来证明我要检查的引理。
  • 证明每一种可能的归纳情况的定理。然后展示一个使用所有前面规则的一般情况。

    • 作为第三种选择，我(希望)希望更有经验的 Isabelle 用户可以用一个绕过这个"归纳问题"的秘密函数/typedef 来启发我的方法。所以这里的问题是：

    还有其他更简单的选择吗？如果是，是哪些？如果没有，我的任何方法是否看起来有缺陷或注定失败？

    警告：我举了一个例子，DNF，但是，运算符不一定保留谓词的真值的一般情况对我来说更感兴趣，例如D 可以这样做：D (?? x. P x /\\ Q x) = (?? x. P x \\/ Q x).

    HOL 函数无法查看其参数的句法表示。原因是替换公理，即逻辑上相等的项可以在任何上下文中替换。否则，可以定义一个满足 D (?? x. P x) = True 和 D (?? x. P x & True) = False 的函数 D，从而得出 False.

    的证明

    对于像转换为 DNF 这样的函数，其在 HOL 中的语义不依赖于参数的语法，仍然可以定义这样的转换。对于 DNF 转换，语义操作是恒等式，即

    1
    definition DNF ::"('a => bool) => ('a => bool)" where"D = id"

    然后，您可以推导出实际执行转换的重写规则。例如，

    1
    lemma DNF_imp:"DNF (??x. P x --> Q x) = DNF (??x. ~ P x | Q x)"

    如果你用这样一组专用规则调用 Isabelle 的简化器，你就可以有效地转换为 DNF(尽管你永远无法在 HOL 中正式表达你的规则集在所有情况下都有效)。

    很多时候，像 DNF_imp 这样的规则不足以实现这样的功能。在这种情况下，您可以在 Isabelle/ML 中编写一个 simproc，它在 DNF _ 项上触发并执行转换。由于您正在跳出逻辑，因此 simproc 可以查看参数的 HOL 语法，并在逻辑上相等的条件下表现不同。

    相反，如果您确实想在逻辑中表达和推理转换函数 D，则无法像您建议的数据类型那样引入要处理的语法。

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