如何在Coq中隐式构建函数？

How to build a function implicitly in Coq?

我试图证明每个组都有反函数。

我定义的组如下：

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Record Group:Type := {
G:Set;
mult:G->G->G;
e:G;
assoc:forall x y z:G, mult x (mult y z)=mult (mult x y) z;
neut:forall x:G, mult e x=x /\\ mult x e=x;
inverse:forall x:G,exists y:G, mult x y = e
}.

我知道最好用inverse:forall x:G, {y: mult x y = e}.甚至inverse:G->G. is_inverse:forall x:G, mult x (inverse x)=e.代替反公理，但是我更喜欢我的定义，主要是因为我希望定义与教室中给出的定义相同。

因此，我提供了一个合适的选择公理版本：

1 2	Axiom indefinite_description : forall (A : Type) (P: A->Prop), ex P -> sig P. Axiom functional_choice : forall A B (R:A->B->Prop), (forall x, exists y, R x y) -> (exists f, forall x, R x (f x)).

现在，我可以证明我的主张：

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Lemma inv_func_exists(H:Group):exists inv_func:G H->G H, (forall x:G H, mult H x (inv_func(x))=e H).
generalize (inverse H).
apply functional_choice.
Qed.

既然我已经证明了存在，那么我想定义一个实际函数。在这里，我感到事情开始变得混乱。以下定义创建了一个实际的函数，但看起来很丑陋和复杂：

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Definition inv_func(H:Group):G H->G H.
pose (inv_func_exists H).
pose indefinite_description.
generalize e0 s.
trivial.
Qed.

最后，我想证明inv_func实际上是一个反函数：

1	Lemma inv_func_is_inverse:forall (H:Group), forall x:(G H), mult H x (inv_func H x)=e H.

我可以看到Coq知道如何定义inv_func(例如Print inv_func)，但是我不知道如何正式证明引理。

总之，对于如何证明最后一个引理以及定义inv_func的更好方法的建议，我将不胜感激(但根据我对group的定义，而在group定义中不包含该功能。我相信问题可能是可以证明每个元素都具有某种对应关系，并且需要将此对应关系作为一个函数来建立关系。