如何在Julia中进行两个变量数值积分？

How to do two variable numeric integration in Julia?

我可以使用quadgk在Julia中进行单变量数字积分。一些简单的例子：

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julia> f(x) = cos(x)
f (generic function with 1 method)

julia> quadgk(f, 0, pi)
(8.326672684688674e-17,0.0)

julia> quadgk(f, 0, pi/2)
(1.0,1.1102230246251565e-16)

julia> g(x) = cos(x)^2
g (generic function with 1 method)

julia> quadgk(g, 0, pi/2)
(0.7853981633974483,0.0)

julia> pi/4
0.7853981633974483

Quadgk的文档似乎并不意味着支持多维集成，如果尝试将其用于2D积分，我肯定会出错：

1 2	julia> quadgk( h, 0, pi/2, 0, pi/2) ERROR: `h` has no method matching h(::Float64)

该文档确实建议有一些用于集成的外部程序包，但未命名。我猜一个这样的包可以做二维积分。这种任务最好的软件包是什么？

除Cubature.jl外，还有另一个Julia包，可用于计算多维数值积分：Cuba.jl(https://github.com/giordano/Cuba.jl)。您可以使用软件包管理器进行安装：

1	Pkg.add("Cuba")

有关该软件包的完整文档，请访问https://cubajl.readthedocs.org(也是PDF版本)。

免责声明：我是软件包的作者。

Cuba.jl只是由Thomas Hahn编写的，围绕着Cuba Library的Julia包装纸，并提供了四种独立的算法来计算积分：Vegas，Suave，Divonne和Cuhre。

可以使用以下命令之一来计算域[0，1]中cos(x)的积分：

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Vegas((x,f)->f[1]=cos(x[1]), 1, 1)
Suave((x,f)->f[1]=cos(x[1]), 1, 1)
Divonne((x,f)->f[1]=cos(x[1]), 1, 1)
Cuhre((x,f)->f[1]=cos(x[1]), 1, 1)

作为更高级的示例，积分

enter image description here

Ω= [0，1] 3且

enter image description here

可以使用以下Julia脚本进行计算：

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using Cuba

function integrand(x, f)
f[1] = sin(x[1])*cos(x[2])*exp(x[3])
f[2] = exp(-(x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2))
f[3] = 1/(1 - x[1]*x[2]*x[3])
end

result = Cuhre(integrand, 3, 3, epsabs=1e-12, epsrel=1e-10)
answer = [(e-1)*(1-cos(1))*sin(1), (sqrt(pi)*erf(1)/2)^3, zeta(3)]
for i = 1:3
println("Component $i")
println(" Result of Cuba:", result[1][i]," ±", result[2][i])
println(" Exact result: ", answer[i])
println(" Actual error: ", abs(result[1][i] - answer[i]))
end

它给出以下输出

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Component 1
Result of Cuba: 0.6646696797813739 ± 1.0050367631018485e-13
Exact result: 0.6646696797813771
Actual error: 3.219646771412954e-15
Component 2
Result of Cuba: 0.4165383858806454 ± 2.932866749838454e-11
Exact result: 0.41653838588663805
Actual error: 5.9926508200192075e-12
Component 3
Result of Cuba: 1.2020569031649702 ± 1.1958522385908214e-10
Exact result: 1.2020569031595951
Actual error: 5.375033751420233e-12

我认为您将需要查看Cubature软件包：

https://github.com/stevengj/Cubature.jl

可以说，应该将quadgk从标准库中删除，因为它有局限性，并且会误导人们不要寻找要进行集成的软件包。