关于算法：数之和可被K整除的子数组数


number of subarrays where sum of numbers is divisible by K

给定一个数组，找出存在多少个这样的子序列(不需要是连续的)，其中该子数组中的元素之和可被K整除。

我知道一种复杂度为2 ^ n的方法，如下所示。 就像找到所有i = [0，n]的nCi并验证和是否可以被K整除一样。
请提供伪代码，例如线性/二次或n ^ 3。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
static int numways = 0;
void findNumOfSubArrays(int  [] arr,int index, int sum, int K) {
        if(index==arr.length) {
                if(sum%k==0) numways++;
        }
        else {
                findNumOfSubArrays(arr, index+1, sum, K);
                findNumOfSubArrays(arr, index+1, sum+arr[index], K);
        }
}
相关讨论

输入-长度为n的数组A，自然数为k。

算法：

  • 构造数组B：对于每个1 <= i <= n：B [i] =(A [i]模K)。

现在我们可以使用动态编程了：

我们定义D [i，j] =-B [i..n]的子数组的最大数目，其子元素的模数之和等于j。

1 <= i <= n。 0 <= j <= k-1。

D [n，0] =如果(b [n] == 0)，2。否则，1。

如果j> 0：

D [n，j] =如果(B [n]模k)== j，则大于1，否则为0。

对于i

D [i，j] = max {D [i + 1，j]，1 + D [i + 1，D [i + 1，(j-B [i] + k)模k)]]}。

  • 构造D。

  • 返回D [1,0]。

总运行时间：O(n * k)

相关讨论

从根本上说，如果K的范围和数组中数字的范围未知，那么我认为不可能在O(n ^ 3)甚至多项式时间内解决此问题。这是我的想法：

考虑以下情况：arr中的N个数字类似于

[1,2,4,8,16,32，...，2 ^(N-1)]

，

这样，arr的2 ^ N个"子数组"(不需要是连续的)的总和就是[0,2 ^ N]中的所有整数。

并问其中有多少可以被K整除，就等于问有多少整数在[0，2 ^ N)中可以被K整除。

我知道在上述情况下，答案可以像(2 ^ N-1)/ K(或其他)一样直接计算。但是，如果我们只是随机更改arr中的几个(可能是3？4？)个数字，以在完美连续整数范围[0,2 ^ N)中"挖一些随机孔"，那么看起来计算答案而无需遍历[0,2 ^ N)中的几乎每个数字。

好吧，只是一些愚蠢的想法...可能是完全错误的。

相关讨论

使用辅助数组A

1)在输入时，将当前总计存储在相应的索引中(这在O(n)中执行)：

1
2
3
4
5
6
7
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
    cin >> arr[i];
    sum += arr[i];
    A[i] = sum;
}

2)现在，

1
2
3
for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = i; j < n; j++)
        check that (A[j] - A[i] + arr[i]) is divisible by k

你去了：O(n^2) ...

相关讨论